ほぼ公式の手順通りですが、 TypeScript プロジェクトに ESLint を設定した際の手順を残しておきます。

Getting Started - ESLint

ESLint のインストール

$ npm install eslint --save-dev
+ eslint@7.10.0

ESLint のセットアップ

init

init コマンドで対話形式でセットアップが可能です。

$ npx eslint --init
✔ How would you like to use ESLint? · style
✔ What type of modules does your project use? · esm
✔ Which framework does your project use? · react
✔ Does your project use TypeScript? · No / Yes
✔ Where does your code run? · browser
✔ How would you like to define a style for your project? · guide
✔ Which style guide do you want to follow? · airbnb
✔ What format do you want your config file to be in? · JavaScript
Checking peerDependencies of eslint-config-airbnb@latest
The config that you've selected requires the following dependencies:

eslint-plugin-react@^7.20.0 @typescript-eslint/eslint-plugin@latest eslint-config-airbnb@latest eslint@^5.16.0 || ^6.8.0 || ^7.2.0 eslint-plugin-import@^2.21.2 eslint-plugin-jsx-a11y@^6.3.0 eslint-plugin-react-hooks@^4 || ^3 || ^2.3.0 || ^1.7.0 @typescript-eslint/parser@latest
✔ Would you like to install them now with npm? · No / Yes

途中で TypeScript を使うかどうか聞かれるので、 Yes と答えると @typescript-eslint/eslint-plugin などの必要なパッケージがインストール対象に追加されます。
成果物ファイルとして .eslintrc.js が出力されます。内容は以下です。

module.exports = {
  env: {
    browser: true,
    es2021: true,
  },
  extends: [
    'plugin:react/recommended',
    'airbnb',
  ],
  parser: '@typescript-eslint/parser',
  parserOptions: {
    ecmaFeatures: {
      jsx: true,
    },
    ecmaVersion: 12,
    sourceType: 'module',
  },
  plugins: [
    'react',
    '@typescript-eslint',
  ],
  rules: {
  },
};

eslintignore

また、 .eslintignore を手動で作成して無視するファイル群を指定します。
node_modules や . から始まるファイルやフォルダは自動的に無視されます。

TypeScript のルール追加

init コマンドで　TypeScript を指定したのでここまでやって欲しいですが、 TypeScript 用のルールの追加を行ないます。

   extends: [
     'plugin:react/recommended',
     'airbnb',
+    'plugin:@typescript-eslint/recommended',
   ],
   parser: '@typescript-eslint/parser',

ESLint の実行

lint 対象を指定して実行します。

$ npx eslint .

# 自動で fix する時
$ npx eslint --fix .

細かなルールの調整は .eslintrc.js の rules に追加します。